完全数

完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身，完全数不可能是楔形数。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数，它们不是亏数就是过剩数。

完全数的发现

古希腊数学家欧几里得是通过 的表达式发现前四个完全数的。

当

当

当

当

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式： ，其中 是素数，此事实的充分性由欧几里得证明，而必要性则由欧拉所证明。

比如，上面的 和 对应着 和 的情况。我们只要找到了一个形如 的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 或 的形式，其中 是素数。

首十个完全数是（OEIS - A000396）：

1. 6（1位）

2. 28（2位）

3. 496（3位）

4. 8128（4位）

5. 33550336（8位）

6. 8589869056（10位）

7. 137438691328（12位）

8. 2305843008139952128（19位）

9. 2658455991569831744654692615953842176（37位）

10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每个偶完全数给出一个梅森素数，这结果称为欧几里得－欧拉定理。到 2018 年 1 月为止，共发现了 50 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全数为 共有 位数。

性质

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

• 偶完全数都是以6或28结尾。

• 在十二进制中，除了6跟28以外的偶完全数都以54结尾，甚至，除了6, 28, 496以外的偶完全数都以054或854结尾。而如果存在奇完全数，她在十二进制中必定以1, 09, 39, 69或99结尾。

• 除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1：

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 到 ：

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有)：

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。）

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如 )