定义
定义数论函数f和g的狄利克雷卷积为h，则h(n)=\sum_{d|n}f(d) g(\frac{n}{d})记做h=f * g（*代表卷积）
性质
狄利克雷卷积满足交换律，结合律，对加法满足分配律
交换律：f * g = g * f
结合律：(f * g) * h = f * (g * h)
分配律：f * (g+h)=f * g + f * h
单位元：f * e = e * f
逆元：对于每一个f(1)\neq 0的函数f，都有f * g=\epsilon
两个积性函数的狄利克雷卷积依旧为积性函数。f,g为积性函数，则f * g也为积性函数
e为单位元，它卷上任意的数论函数仍为原数论函数，简单来说，就是e(n)=[n=1]
求一个函数的逆
只需定义：g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum_{i|n,i\neq1}f(i)g(\frac{n}{i})\right)
这样的话：\sum_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i})=f(1)g(n)+\sum_{i|n,i\neq1}f(i)g(\frac{n}{i})=[n==1]
常用的狄利克雷卷积
(1\cdot\mu)=e，因为\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]
\mu\cdot id=\phi，将欧拉函数的通式展开即可得到次式。
1\cdot id = \sigma
1\cdot 1 = \tau
我们能够通过简单的狄利克雷卷积运算轻易的证出莫比乌斯反演
若有F(n)=\sum_{d|n}f(d)
则有F=1\cdot f，两边同时卷上\mu，可得
\mu \cdot F = \mu \cdot 1 \cdot f
又因为1\cdot \mu =e，所以f=\mu\cdot F
即f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot F(\frac{n}{d})
我们甚至可以弄出一些很棒的东西，比如说
id=id\cdot e=id\cdot\mu\cdot 1=\phi\cdot1
n=id(n)=\sum_{d|n}\phi(d)
\sigma=1\cdot id=1\cdot(1\cdot\phi)=(1\cdot 1)\cdot\phi=\tau\cdot\phi
\sigma(n)=\sum_{d|n}\tau(d)\cdot\phi(\frac{n}{d})