Dirichlet 狄利克雷卷积

定义

定义数论函数和的狄利克雷卷积为，则记做（代表卷积）

性质

狄利克雷卷积满足交换律，结合律，对加法满足分配律

• 交换律：

• 结合律：

• 分配律：

• 单位元：

• 逆元：对于每一个的函数，都有

两个积性函数的狄利克雷卷积依旧为积性函数。为积性函数，则也为积性函数

为单位元，它卷上任意的数论函数仍为原数论函数，简单来说，就是

求一个函数的逆

只需定义：

这样的话：

常用的狄利克雷卷积

，因为

，将欧拉函数的通式展开即可得到次式。

我们能够通过简单的狄利克雷卷积运算轻易的证出莫比乌斯反演

若有

则有，两边同时卷上，可得

又因为，所以

即

我们甚至可以弄出一些很棒的东西，比如说